Il Calcolo delle probabilità ha consentito negli ultimi tre secoli, non solo di affrontare con maggiore consapevolezza molti problemi pratici, ma soprattutto di ampliare in maniera determinante i confini di molti campi del sapere umano
In Matematica, viene definito Calcolo delle probabilità il complesso di regole e di procedimenti con i quali si riesce ad avere informazioni utili, in merito al verificarsi di determinati eventi, il cui esito è legato al caso. L’evolversi di questa disciplina ha consentito negli ultimi tre secoli, non solo di affrontare con maggiore consapevolezza molti problemi pratici, ma soprattutto di ampliare in maniera determinante i confini di molti campi del sapere umano, dalla Fisica alla Biologia, dalla Chimica alla Psicologia, dalla Geologia alla Sociologia.
I primi concetti del Calcolo delle probabilità sono stati elaborati, per opera di alcuni sommi scienziati (come Gerolamo Cardano, Galileo Galilei e Blaise Pascal), analizzando alcune questioni relative al lancio dei dadi. In generale, infatti, le regole e gli strumenti dei giochi d’azzardo, essendo sintetici e lineari, si prestano a essere facilmente interpretate, mediante un modello matematico schematico e funzionale. Per questo motivo, nel seguito, ricorremmo spesso anche noi ad esempi
basati su materiale da gioco (carte, dadi, palline colorate, ecc.).
Per cominciare ad acquistare confidenza con questa importante branca della Matematica, però, è necessario chiarire bene i fondamentali concetti di probabilità e di frequenza, su cui si basa.
• Probabilità di un evento: è un valore teorico, potenzialmente ricavabile con diversi procedimenti; corrisponde a una stima, formulata a priori, della possibilità che un determinato evento ha di verificarsi.
Ad esempio, prima di lanciare una moneta in aria, possiamo ragionevolmente stimare che la probabilità che cada, ad esempio, dal lato «testa» è uguale a: 1/2 = 0,5.
Indipendentemente dal metodo usato per ricavarlo, il valore di una probabilità viene sempre espresso mediante un numero decimale, compreso tra 0 e 1. Ovviamente, più è grande questo valore, maggiore è il grado di fiducia che si ripone nel verificarsi dell’evento in questione.
• Frequenza di un evento: è un valore pratico, che si ricava al termine di un’apposita sperimentazione; corrisponde al valore che si ottiene effettuando una divisione tra la quantità di volte in cui un determinato evento si è verificato e la quantità totale di prove effettuate.
Ad esempio, se dopo aver lanciato una moneta 100 volte, si rileva che la «testa» è uscita 50 volte, si può affermare che la frequenza di uscita di «testa» è uguale a: 50/100 = 1/2 = 0,5.
Siccome il numero di successi ottenuti non può essere superiore a quello delle prove effettuate, anche il valore di una frequenza corrisponde sempre a un numero decimale compreso tra 0 e 1.
• Mentre, in relazione a un determinato evento, il valore della probabilità corrisponde a un numero fisso (ricavato mediante un calcolo matematico), quello della frequenza cambia al variare della quantità di prove effettuate e di quella dei successi ottenuti. In definitiva, quando si calcola la probabilità di un evento, si cerca di valutare a priori la frequenza che si potrebbe ottenere, effettuando un considerevole numero di prove.
• In molte applicazioni pratiche, si usa esprimere i valori di probabilità e frequenza, non mediante dei numeri decimali, ma sotto forma di frazioni; per cui, ad esempio, si scrive: 1/10 e non: 0,1. Inoltre, per poter usufruire di un comodo parametro di riferimento, spesso si ricorre a delle frazioni con denominatore 100; di conseguenza, nel caso precedente, non si scriverebbe: 1/10 o 0,1 ma: 10/100 o, più sinteticamente: 10% (10 per cento). Quest’ultima notazione consente di eseguire dei rapidi raffronti tra diversi valori di probabilità o di frequenza, ma può essere anche fonte di errori e fraintendimenti.
• L’esistenza di uno stretto legame tra i concetti di probabilità e frequenza è sancita dalla cosiddetta Legge dei grandi numeri, enunciata per la prima volta verso i primi del ‘700, da Jakob Bernoulli.
Questo fondamentale teorema matematico afferma sostanzialmente che, tanto più è alta la quantità di prove effettuate (al limite, infinita), tanto più la frequenza di un determinato evento tende alla relativa probabilità.
Un tale presupposto è molto importante, perché consente di assumere direttamente, come valore della probabilità di un evento, quello della frequenza ottenuta dopo aver eseguito un’adeguata quantità di prove in merito.
Ad esempio, se dopo aver lanciato un comune dado da gioco 120 volte, si rileva che il «5» è uscito 20 volte, si può affermare che la probabilità di ottenere un «5» lanciando un comune dado da gioco è uguale a 20/120 = 1/6.
Ovviamente, il ricorso a un metodo del genere risulta particolarmente utile in tutte le situazioni in cui non è facile analizzare a priori le caratteristiche dell’evento che si intende studiare.
• Il teorema di Bernoulli, ha favorito la nascita e lo sviluppo della Statistica, ovvero di quella disciplina che descrive le caratteristiche di un determinato fenomeno, analizzando un insieme di dati raccolti su di esso.
STRUTTURA DEL LIBRETTO
Per favorire un graduale approccio ai concetti prima esposti, il presente libretto è stato così suddiviso.
Prima parte – Calcolo delle probabilità
In questa parte viene fornita la definizione semplice di probabilità di un evento, come rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento e quello di tutti i casi possibili. Inoltre vengono introdotti i concetti fondamentali di probabilità totale, probabilità composta e probabilità opposta. Per approfondire tali argomenti in maniera divertente, vengono proposti diversi problemi, molti dei quali riguardanti situazioni di noti giochi aleatori (testa o croce, lancio di dadi, estrazione di carte, roulette, ecc.).
Seconda parte – Inganni probabilistici
In questa parte vengono illustrate le nozioni fondamentali del Calcolo combinatorio (permutazione disposizione e combinazione), che consentono di determinare esattamente tutti i modi possibili di raggruppare un qualsiasi numero finito di elementi. Come prima, per approfondire tali argomenti in maniera divertente, vengono proposti diversi problemi, molti dei quali riguardanti situazioni di noti giochi aleatori. Per sottolineare, però, come il calcolo delle probabilità sia piuttosto insidioso, anche quando i casi da analizzare sono pochi, vengono proposti alcuni intriganti problemi, apparentemente molto semplici, ma in realtà estremamente ingannevoli.
Terza parte – Statistica
In questa parte si definisce la Statistica come la scienza che si occupa di raccogliere ed elaborare una serie di dati relativi a un determinato fenomeno, al fine di ricavare una legge matematica, capace di descriverne il comportamento. Si sottolinea come i suoi strumenti siano estremamente utili, in particolare, per stimare la probabilità di un evento, in tutti i casi in cui non sia possibile farlo in forma diretta, ma anche per verificare l’attendibilità di un valore di probabilità, ricavato solo per via teorica. Vengono, quindi, proposti alcuni semplici e esperimenti probabilistici, una parte dei quali consente di confermare l’esattezza di alcuni valori di probabilità ottenuti nei precedenti esercizi. Si ribadisce, inoltre, che è fondamentale esaminare correttamente i dati emersi da un’indagine statistica, per evitare di giungere a conclusioni prive di senso. A tale scopo, viene proposto di analizzare attentamente alcuni risultati statistici, apparentemente paradossali.
Nota – Per rendere più scorrevole la lettura di questo libretto, nel seguito non riporteremo le dimostrazioni rigorose delle formule a cui faremo ricorso. Di conseguenza, per riuscire a comprendere gli argomenti esposti (e a svolgere gli esercizi proposti), sarà sufficiente avere una buona dimestichezza con i concetti di algebra elementare.