Il Calcolo delle probabilità ha consentito negli ultimi tre secoli, non solo di affrontare con maggiore consapevolezza molti problemi pratici, ma soprattutto di ampliare in maniera determinante i confini di molti campi del sapere umano
PROBABILITÀ SEMPLICE
• Secondo la definizione più antica (detta classica), la probabilità di un determinato evento è uguale semplicemente alla quantità dei casi favorevoli a quell’evento, diviso la quantità di tutti i casi possibili (a condizione che questi siano tutti ugualmente possibili).
Ad esempio, se si vuole determinare la probabilità di ottenere un K, estraendo casualmente una sola carta da un mazzo che ne contiene 52, bisogna considerare che:
– i casi favorevoli sono: 4 (i K contenuti nel mazzo),
– i casi possibili, tutti ugualmente possibili, sono 52 (le carte dell’intero mazzo).
Il valore della probabilità richiesta, quindi, è uguale a: 4/52 = 1/13 = 0,0769.
• Un evento viene detto certo, quando tutti i casi possibili sono ad esso favorevoli.
La probabilità che si verifichi un evento certo è uguale a 1; infatti, se i casi possibili sono N, anche quelli favorevoli devono essere N; quindi, si ha: N/N = 1.
Ad esempio, se vogliamo calcolare la probabilità di estrarre una carta di cuori da un mazzetto composto da 13 carte di cuori, dobbiamo considerare che:
– i casi favorevoli sono 13 (le carte di cuori contenute nel mazzetto);
– casi possibili sono 13 (le carte dell’intero mazzetto).
Il valore della probabilità richiesta, quindi, è uguale a: 10/10 = 1 (di conseguenza, un evento del genere è certo).
• Un evento viene detto impossibile, quando nessuno dei casi possibili è ad esso favorevole. La probabilità che si verifichi un evento impossibile è uguale a 0; infatti, se i casi possibili sono N, quelli favorevoli sono 0; quindi, si ha: 0/N = 0
Ad esempio, se vogliamo calcolare la probabilità di estrarre una carta di picche da un mazzetto composto da 13 carte di cuori, dobbiamo considerare che:
– i casi favorevoli sono 0 (le carte di picche contenute nel mazzetto);
– casi possibili sono 13 (le carte dell’intero mazzetto).
Il valore della probabilità richiesta, quindi, è uguale a: 0/13 = 0 (di conseguenza, un evento del genere è impossibile).
• Siccome un evento non può mai essere più certo del certo, né più impossibile dell’impossibile, se ne deduce che il valore della probabilità, come abbiamo già visto, è rappresentato da un numero compreso tra 0 e 1.
• Un evento viene detto improbabile, quando il valore della sua probabilità è vicino a 0, mentre viene detto probabile, quando il valore della sua probabilità è vicino a 1.
Ad esempio, la probabilità di centrare una determinata cinquina al gioco del Lotto, fra tutte le 43.949.268 cinquine possibili, è uguale a 1/43.949.268 = 0,000000023. Siccome questo valore è molto vicino a 0, si può affermare che il relativo evento è molto improbabile.
Viceversa, la probabilità di sbagliare il pronostico di una cinquina al gioco del Lotto è uguale a: 43.949.267/43.949.268 = 0,99999998. Siccome questo valore è molto vicino a 1, si può affermare che il relativo evento è molto probabile.
• Bisogna stare molto attenti a non confondere il concetto improbabile con quello di impossibile, né il concetto di probabile con quello di certo, come comunemente si tende a fare; infatti:
– un evento impossibile non si verifica mai, mentre un evento anche molto improbabile, qualche volta, pur se di rado, può verificarsi;
– un evento certo si verifica sempre, mentre un evento anche molto probabile qualche volta, pur se di rado, può non verificarsi.
PROBLEMI SULLA PROBABILITÀ SEMPLICE
1. In un sacchetto ci sono quattro palline, di cui due bianche e due nere. Se si estraggono casualmente due palline, qual è la probabilità che siano entrambe bianche?
2. Se si estrae casualmente un numero intero maggiore o uguale a 100, qual è la probabilità che termini con due cifre uguali?
3. Da un sacchetto contenente tre palline (una azzurra, una rossa e una verde), se ne preleva casualmente una alla volta e, poi, si rimettono tutte nel nel sacchetto. Se si ripete l’estrazione, qual è la probabilità di prelevare le tre palline, nello stesso ordine di prima?
4. Se si lanciano in aria quattro monete, qual è la probabilità di ottenere quattro teste?
5. Se si lanciano contemporaneamente un comune dado da gioco e una moneta, quali sono la probabilità relative ai seguenti eventi?
a) ottenere una testa e un 4
b) ottenere una testa e un punto pari
c) ottenere una croce e un punto non maggiore di 4
d) ottenere una croce e un punto maggiore di 4
6. Un sacchetto contiene nove palline: tre azzurre, tre rosse e tre verdi. Dopo averle mescolate accuratamente, se ne estraggono tre a caso. Quali sono le probabilità relative ai seguenti eventi?
a) estrarre tre palline rosse
b) estrarre tre palline di uno stesso colore
c) estrarre una pallina per ciascuno dei tre diversi colori
d) estrarre due palline azzurre e una rossa
e) estrarre due palline di un colore e una di un altro
7. Qual è la probabilità che, estraendo casualmente un numero compreso tra 100 e 999, questo sia formato da tre cifre tutte diverse tra loro, con somma uguale a 7?
8. Se si lanciano contemporaneamente due comuni dadi da gioco e si sommano i punti risultanti, quali sono le probabilità relative ai seguenti eventi?
a) ottenere 12
b) ottenere 7
c) ottenere 10
d) ottenere un valore inferiore a 7
e) ottenere un valore superiore a 10
9. In una scatola si sono dieci coccarde, alcune rosse e altre bianche. Se si preleva a caso un coccarda, la probabilità che sia rossa è uguale a 2/3 di quella che sia bianca. Quante coccarde rosse ci sono in quel cassetto?
10. In un sacchetto ci sono dieci palline, alcune bianche ed altre nere. In un secondo sacchetto ci sono quindici palline , alcune bianche e altre rosse. Le palline bianche contenute nel secondo sacchetto sono il triplo di quelle contenute nel primo. La probabilità di estrarre una pallina nera dal primo sacchetto è il triplo di quella di estrarre una pallina rossa dal secondo sacchetto. Come sono distribuite le palline nei due sacchetti?
LEGGE DELLA PROBABILITÀ TOTALE
• Due o più eventi vengono detti incompatibili, quando l’avverarsi di uno qualsiasi di essi esclude l’avverarsi dell’altro (o degli altri).
Ad esempio, al gioco del Lotto, l’estrazione di un numero pari è incompatibile con quella di un numero dispari, ma non lo è con quella di un numero superiore a 45 (in quanto, ci sono diversi numeri pari, maggiori di 45).
• Se un evento è costituito dall’unione di vari eventi incompatibili, la sua probabilità (detta totale) è uguale alla somma delle probabilità di tutti gli eventi di cui è composto.
Ad esempio, se si vuole calcolare la probabilità che, estraendo un sola carta da un mazzo di cinquantadue, questa sia una figura o un asso, si può procedere nel seguente modo:
– i due eventi in questione sono incompatibili tra loro; infatti l’estrazione di una determinata carta esclude che ne venga estratta una delle altre;
– un mazzo di cinquantadue carte contiene dodici diverse figure; quindi la probabilità che venga estratta una di queste è uguale a:
P(figure) = 12/52 = 3/13
– un mazzo di cinquantadue carte contiene quattro diversi assi; quindi, la probabilità che venga estratto uno di questi è uguale a:
P(asso) = 4/52 = 1/13
Di conseguenza, la probabilità di estrarre una figura o un asso, è uguale a:
P(figura o asso) = 3/13+1/13 = 4/13 = 0,3077
• Nel semplice caso preso in esame, il risultato ottenuto si può giustificare, considerando che in un mazzo di cinquantadue carte ci sono dodici figure e quattro assi; quindi, i casi favorevoli all’evento in questione sono: 4+12 = 16. Di conseguenza, la probabilità di estrarre una figura o un asso, può essere anche data direttamente da:
P(figura o asso) = 16/52 = 4/13 = 0,3077.
PROBLEMI SULLA PROBABILITÀ TOTALE
1. Se si lancia un comune dado da gioco, qual è la probabilità che esca un 3 o un valore pari?
2. Un sacchetto contiene quindici palline, numerate dall’1 al 15. Qual è la probabilità che, estraendone una a caso, esca l’8 o un valore dispari?
3. Se si lanciano contemporaneamente due comuni dadi da gioco e si sommano i punti risultanti, qual è la probabilità di ottenere 7 o un valore superiore a 10?
4. Un’urna contiene 80 palline, di cui 30 rosse, 24 azzurre, 20 nere e 16 bianche. Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca o nera?
5. Qual è la probabilità che, estraendo un sola carta da un mazzo di cinquantadue, questa sia un 7 o una figura o un asso rosso?
6. In un urna ci sono delle palline di quattro diversi colori: rosse, azzurre, gialle e bianche. La probabilità di estrarre una pallina bianca è il triplo di quella di estrarne una gialla, mentre la probabilità di estarre una pallina gialla è uguale alla metà di estrarne una rossa. Inoltre, la probabilità di estrarre una pallina rossa è uguale a quella di estrarne una azzurra.
Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa o gialla?
LEGGE DELLA PROBABILITÀ COMPOSTA
• Due (o più) eventi non incompatibili vengono detti indipendenti, quando l’avverarsi di uno qualsiasi di essi non influenza l’avverarsi dell’altro (o degli altri).
Ad esempio, se si effettua una serie di estrazioni di palline da un sacchetto, rimettendoci ogni volta le palline estratte, l’esito di ciascuna estrazione non influenza in alcun modo quello delle altre (se invece, le palline non vengono rimesse ogni volta nel sacchetto, ogni estrazione influenza le successive, perché modifica la quantità di palline in esso presenti).
• Se un determinato evento risulta dal concorso (simultaneo o successivo) di più eventi indipendenti, la sua probabilità (detta composta) è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi indipendenti.
Ad esempio, se si vuole determinare la probabilità di estrarre due K di cuori, prelevando casualmente ognuno di queste due carte da un diverso mazzo di cinquantadue, si può procedere nel seguente modo:
– i due eventi in questione sono indipendenti; infatti, l’estrazione di una carta da uno qualsiasi dei due mazzi non può influire in alcun modo sull’esito delle altre estrazioni;
– un mazzo da cinquantadue carte contiene un solo K di cuori; quindi, la probabilità di estrarre questa carta da uno qualsiasi dei due mazzi è data da:
P (K di cuori ) = 1/52
– in definitiva, la probabilità dell’evento corrispondente alla concomitanza dei due eventi dati, è uguale a:
P(due K di cuori) = (1/52)(1/52) = 1/2704 = 0,0004
• Nel semplice caso preso in esame, il risultato ottenuto si può giustificare, considerando che l’insieme di tutte le diverse coppie di carte, componibili con due mazzi da cinquantadue, è uguale a: 5252 = 2704; mentre, tra queste, una sola corrisponde a due assi di denari.
Di conseguenza, la probabilità di estrarre due K di cuori da due mazzi di cinquantadue carte, può essere anche data direttamente da:
P(due K di cuori) = 1/2704 = 0,0004.
PROBLEMI SULLA PROBABILITÀ COMPOSTA
1. Qual è la probabilità che, lanciando tre comuni dadi da gioco, si ottenga un triplo 6?
2. Qual è la probabilità che, lanciando sei monete, si ottengano sei teste?
3. Si hanno a disposizione due sacchetti, ognuno dei quali contenente quindici palline numerate dall’1 al 15. Se si estrae casualmente una sola pallina da ciascuno dei due sacchetti, qual è la probabilità che la prima sia pari e la seconda sia dispari?
4. Si hanno a disposizione tre sacchetti, ognuno dei quali contenente dieci palline numerate dallo 0 al 9. Se si estrae casualmente una pallina da ciascuno dei tre sacchetti, qual è la probabilità di ottenere, nell’ordine, i seguenti valori: 0 – 1 – 2?
5. Come è noto, la ruota di una roulette francese contiene trentasette numeri (dallo 0 al 36). Escludendo lo zero (che è verde), diciotto di questi numeri sono rossi e altri diciotto sono neri, tutti equamente ripartiti tra pari e dispari. Qual è la probabilità che, in due estrazioni successive, esca prima un numero pari nero e, poi, uno dispari rosso?
6. Un cubo di legno, le cui facce esterne sono tutte verniciate di verde, viene tagliato in 27 parti uguali. Se si estrae un cubetto a caso e lo si fa rotolare come un dado, qual è la probabilità che si fermi con una faccia verde verso l’alto?
Nota – Questo particolare problema può essere risolto rapidamente, mediante il seguente ragionamento sintetico. Su 27 cubetti ci sono 627 = 162 faccette in tutto. Ognuna delle sei facce esterne del cubo grande, è composta da 9 faccette; quindi, le faccette verdi sono: 96 = 54. Di conseguenza, la probabilità di estrarre a caso una faccetta verde (mediante un qualsiasi procedimento) è uguale a: 54/162 = 1/3.
Provate, però, a verificare la correttezza di tale risultato in maniera più approfondita, ricorrendo alle leggi della probabilità composta e della probabilità totale.
LEGGE DELLA PROBABILITÀ OPPOSTA
• Se la probabilità che un evento si verifichi è uguale a P, la probabilità P’ che l’evento non si verifichi (detta probabilità opposta), è uguale a:
P’ = 1–P
Ad esempio, siccome la probabilità di estrarre un K, da un mazzo di cinquantadue carte, è uguale a: P(K) = 4/52 = 1/13,
la probabilità di non estrarre un K è uguale a:
P(non K) = 1–1/13 = (13–1)/13 = 12/13.
• Nel semplice caso preso in esame, il risultato ottenuto si può giustificare, considerando che in un mazzo di 52 carte ce ne sono 48 diverse da un K e che, quindi, la probabilità di non estrarre un K può essere anche data direttamente da:
P (non K) = 48/52 = 12/13.
PROBLEMI SULLA PROBABILITÀ OPPOSTA
1. Un sacchetto contiene delle palline, alcune rosse e altre azzurre. La probabilità di estrarre una coppia di palline di diverso colore è uguale a 3/5; qual è la probabilità di estrarre una coppia di palline dello stesso colore?
2. Qual è la probabilità che, lanciando un comune dado da gioco, non esca 3?
3. Qual è la probabilità che, lanciando due comuni dadi da gioco, non esca un doppio 5?
4. Un’urna contiene 50 palline, di cui 30 rosse, 15 bianche e 5 nere. Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca o nera?
5. Un semaforo è regolato in base ai seguenti tempi segnaletici, per chi giunge all’incrocio da una determinata direzione: 45”, rosso; 9”, giallo; 36”, verde.
Qual è la probabilità di trovare il semaforo rosso o giallo,giungendo all’incrocio da quella direzione?
6. Qual è la probabilità che, in un gruppo di quattro persone, almeno due di queste festeggino il compleanno nello stesso mese?
SOLUZIONI
Problemi sulla probabilità semplice
1. Ci sono quattro diversi modi di estrarre le due palline, che possono essere così indicati (B = bianco; N = nero):
BB – BN – NB – NN
Uno solo di questi modi corrisponde all’estrazione di due palline bianche (BB); di conseguenza, la probabilità di estrarre due palline bianche è uguale a: 1/4 = 0,25.
2. Una coppia di cifre può assumere potenzialmente tutti i cento valori compresi tra 00 e 99. Tra questi, solo dieci sono composti da due cifre uguali (00 – 11 – 22 – 33 – 44 – 55 – 66 – 77 – 88 – 99); di conseguenza, la probabilità che un numero intero termini con le stesse due cifre è uguale a: 10/100 = 1/10 = 0,1.
3. Ci sono sei diversi modi di estrarre le tre palline e possono essere così indicati (A = azzurro; R = rosso; V = verde):
ARV – AVR – RAV – RVA – VAR – VRA
Uno solo di questi coincide con quello ottenuto nell’estrazione precedente; di conseguenza, la probabilità di prelevare le tre palline, nello stesso ordine di prima è uguale a: 1/6 = 0,1667.
4. Ci sono sedici possibili risultati ottenibili dal lancio di quattro monete e possono essere così indicati (T = testa; C = croce):
TTTT – TTTC – TTCT – TCTT – CTTT – TTCC – TCTC – CTTC
TCCT – CTCT – CCTT – TCCC – CTCC – CCTC – CCCT – CCCC
Uno solo di questi è composto da quattro teste (TTTT); di conseguenza, la probabilità di ottenere quattro teste è uguale a: 1/16 =0,0625.
5. Ci sono dodici diversi modi di accoppiare il risultato del lancio di una moneta a quello del lancio di un dado e possono essere così indicati:
T+1; T+2; T+3; T+4; T+5; T+6; C+1; C+2; C+3; C+4; C+5; C+6
a) Un solo risultato corrisponde a una testa e un 4 (T+4); di conseguenza, la probabilità di ottenere una testa e un 4 è uguale a: 1/12 = 0,0833
b) Tre risultati corrispondono a una testa e un punto pari (T+2; T+4; T+6); di conseguenza, la probabilità di ottenere una testa e un punto pari è uguale a: 3/12 = 1/4 = 0,25.
c) Quattro risultati corrispondono a una croce e un punto non maggiore di 4 (C+1; C+2; C+3; C+4); di conseguenza, la probabilità di ottenere una croce e un punto non maggiore di 4 è uguale a: 4/12 = 1/3 = 0,3333
d) Due risultati corrispondono a una croce e un punto maggiore di 4 (C+5; C+6); di conseguenza, la probabilità di ottenere una croce e un punto maggiore di 4 è uguale a: 2/12 = 1/6 = 0,1667.
6. Ci sono ventisette diversi modi di estrarre le tre palline e possono essere così indicati:
AAA – AAR – AAV – ARA – ARR – ARV – AVA – AVR – AVV
RAA – RAR – RAV – RRA – RRR – RRV – RVA – RVR – RVV
VAA – VAR – VAV – VRA – VRR – VRV – VVA – VVR – VVV
a) C’è un solo caso in cui le tre palline estratte sono tutte rosse (RRR); di conseguenza, la probabilità che le tre palline estratte siano tutte rosse è uguale a: 1/27 = 0,0370.
b) Ci sono 3 casi in cui le tre palline estratte sono tutte di uno stesso colore (AAA– RRR – VVV); di conseguenza, la probabilità che le tre palline estratte siano tutte di uno stesso colore è uguale a: 3/27 = 1/9 = 0,1111.
c) Ci sono 6 casi in cui le tre palline estratte sono tutte di colore diverso (ARV – AVR – RAV – RVA – VAR – VRA); di conseguenza, la probabilità che le tre palline estratte siano tutte di colore diverso è uguale a: 6/27 =2/9 = 0,2222.
d) Ci sono 3 casi in cui le tre palline estratte sono due azzurre e una rossa (AAR – ARA – RAA); di conseguenza, la probabilità che le tre palline estratte siano due azzurre e una rossa è uguale a: 3/27 = 1/9 = 0,1111.
e) Ci sono 18 casi in cui le tre palline estratte sono due di un colore e una di un altro (AAR – AAV – ARA – ARR – AVA – AVV – RAA – RAR – RRA – RRV – RVR – RVV – VAA – VAV – VRR – VRV – VVA – VVR); di conseguenza, la probabilità che le tre palline estratte siano due di un colore e una di un altro è uguale a: 18/27 = 2/3 = 0,6667.
7. Se nessuna delle tre cifre è uguale a zero «0», l’unico modo per ottenere 7 è dato da: 1+2+4 = 7.
Con questa terna di cifre, si possono formare sei diversi numeri; ovvero:
«1»«2»«4» 124, 142, 214, 241, 412, 421.
Se una delle tre cifre è uguale a «0», le altre due possono essere : «1» e «6», «2» e «5», «3» e «4».
Dato che lo «0» non può trovarsi al primo posto, si hanno solo 4 possibilità con ciascuna delle terne che ne conseguono, ovvero:
«0»«1»«6» 106, 160, 601, 610;
«0»«2»«5» 205, 250, 502, 520;
«0»«3»«4» 304, 340, 403, 430.
In definitiva, i numeri composti da tre cifre diverse, con somma 7, sono in tutto: 6+43 = 18.
Di conseguenza, siccome i numeri interi compresi tra 100 e 999 sono 900, la probabilità di estrarre un numero intero formato da tre cifre tutte diverse tra loro, con somma uguale a 7 è uguale a: 18/900 = 1/50 = 0,02.
8. Per rappresentare tutte le possibili somme dei punti ottenibili lanciando due dadi, si può costruire la seguente tabella.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
A ciascuna riga, è associato uno dei sei diversi punti ottenibili del lancio di un dado e, a ciascuna colonna, uno dei sei diversi punti ottenibili del lancio dell’altro dado. In ogni casella è riportata la somma dei valori indicati dalla relativa riga e dalla relativa colonna.
Come si può notare, indipendentemente dai valori delle somme ottenibili, i due dadi possono cadere in: 6×6 = 36 modi diversi.
a) Osservando la precedente tabella, si può notare che la somma dei due dadi è uguale a 12, in un solo caso (qui di seguito evidenziato).
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Di conseguenza, la probabilità di ottenere 12, lanciando due dadi è uguale a: 1/36 = 0,0278.
b) Osservando la precedente tabella, si può notare che la somma dei due dadi è uguale a 7, in sei diversi casi (qui di seguito evidenziati).
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Di conseguenza, la probabilità di ottenere 7, lanciando due dadi è uguale a: 6/36 = 1/6 = 0,1667.
c) Osservando la precedente tabella, si può notare che la somma dei due dadi è uguale a 10, in tre diversi casi (qui di seguito evidenziati).
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Di conseguenza, la probabilità di ottenere 10, lanciando due dadi è uguale a: 3/36 = 1/12 = 0,0833.
d) Osservando la precedente tabella, si può notare che la somma dei due dadi è inferiore a 7, in quindici diversi casi (qui di seguito evidenziati).
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Di conseguenza, la probabilità di ottenere una somma inferiore a 7, lanciando due dadi è uguale a 15/36 = 5/12 = 0,4167.
e) Osservando la precedente tabella, si può notare che la somma dei due dadi è superiore a 10, in tre diversi casi (qui di seguito evidenziati).
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Di conseguenza, la probabilità di ottenere una somma superiore a 10, lanciando due dadi è uguale a 3/36 = 1/12 = 0,0833.
9. Se si indica con R la quantità di coccarde rosse e con B la quantità di coccarde bianche, la probabilità di estrarre una coccarda rossa è uguale a: R/10, mentre quella di estrarne una bianca è uguale a: B/10.
Dai dati del problema, quindi, si può porre:
R+B = 10
R/10 = (2/3)(B/10), ovvero :
R = 2B/3
Risolvendo il semplice sistema che ne deriva, si ottiene:
2B/3+B = 10
2B+3B = 30
5B = 30
B = 30/5 = 6
ed essendo:
R+B = 10
ricaviamo
R+6= 10
R = 10–6 = 4
In definitiva, nel cassetto ci sono 4 coccarde rosse (e 6 bianche).
10. Definiamo le seguenti variabili:
B = quantità di palline bianche nel primo sacchetto;
N = quantità di palline nere nel primo sacchetto;
R = quantità di palline rosse nel secondo sacchetto;
Con tali convenzioni, possiamo impostare le seguenti relazioni:
N+B = 10
R+3B = 15
Inoltre, siccome la probabilità di estrarre una pallina nera dal primo sacchetto è uguale a: (10–B)/10 e quella di estrarre una pallina rossa dal secondo sacchetto è uguale a: (15–3B)/15, si può scrivere::
(10–B)/10 = 3(15–3B)/15
Da quest’ultima relazione, si ricava:
(10–B)/10 = (15–3B)/5
10–B = 2(15–3B)
10–B = 30–6B
6B–B = 30–10
5B = 20
B = 20/5 = 4
ed essendo:
N+B = 10
ricaviamo:
N+4 = 10
N = 10–4 = 6
inoltre, essendo:
R+3B = 15
ricaviamo:
R+3×4 = 15
R+12 = 15
R = 15–12 = 2
In definitiva, nel primo sacchetto, ci sono 6 palline bianche e 4 nere, mentre nel secondo ce ne sono 12 bianche e 2 rosse.
Problemi sulla probabilità totale
1. I due eventi in questione sono incompatibili tra loro; infatti, l’estrazione di un numero pari esclude che venga estratto un 3 (e viceversa).
I punti che possono essere ottenuti, lanciando un dado, sono sei: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6.
Siccome un solo punto coincide con il 3, la probabilità di ottenereun 3 è uguale a: 1/6;
siccome i punti di valore pari sono tre (2 – 4 – 6), la probabilità di ottenere un valore pari è uguale a: 3/6 = 1/2.
Di conseguenza, la probabilità di ottenere un 3 o un valore pari è uguale a:
1/6+1/2 = (1+3)/6 = 4/6 = 2/3 = 0,6667.
2. I due eventi in questione sono incompatibili tra loro; infatti, l’estrazione di una pallina di valore dispari esclude che venga estratta quella numerata con l’8 (e viceversa).
Siccome una sola pallina è numerata con l’8, la probabilità di ottenere un 8 è uguale a: 1/15;
siccome le palline numerate con un valore dispari sono otto (1–3–5–7–9–11–13–15), la probabilità di ottenere un valore dispari è uguale a: 8/15.
Di conseguenza, la probabilità di ottenere un 8 o un valore dispari è uguale a:
1/15+8/15 = (1+8)/15 = 9/15 = 3/5 = 0,6.
3. I due eventi in questione sono incompatibili tra loro; infatti, l’uscita di una somma uguale a 7 esclude che ne esca una superiore a 10 (e viceversa).
Come si è visto nel precedente esercizio n. 7, la probabilità di ottenere 7, lanciando due dadi è uguale a: 6/36 = 1/6, mentre la probabilità di ottenere una somma superiore a 10, lanciando due dadi è uguale a: 3/36 = 1/12.
4. I due eventi in questione sono incompatibili tra loro; infatti, l’estrazione di una pallina bianca esclude che ne possa essere estratta una nera (e viceversa).
Dai dati del problema, di può stabilire che:
– la probabilità di estrarre una pallina nera è uguale a: 20/80 = 1/4;
– la probabilità di estrarre una pallina bianca è uguale a: 16/80 = 1/5.
Di conseguenza, la probabilità di estrarre una pallina bianca o nera è uguale a:
1/4+1/5 = (5+4)/20 = 9/20= 0,45.
5. I tre eventi in questione sono incompatibili tra loro; infatti l’estrazione di una determinata carta, esclude automaticamente che ne venga estratta una delle altre.
Considerando che un mazzo di cinquantadue carte contiene:
– quattro diversi 7, la probabilità che venga estratto uno di questi è uguale a:
P(7) = 4/52 = 1/13
– dodici diverse figure, la probabilità che venga estratta una di queste è uguale a:
P(figure) = 12/52 = 3/13
– due diversi assi rossi, la probabilità che venga estratto uno di questi è uguale a:
P(asso rosso) = 2/52 = 1/26
Di conseguenza, la probabilità di estrarre un 7 o una figura o l’asso, è uguale a:
P(7, figura o asso rosso) = 1/13+3/13+1/26 = (2+6+1)/26 = 9/26 = 0,3461
6. Dai dati del problema, possiamo affermare che:
P(bianca) = 3P(gialla)
P(rossa) = P(azzurra) = 2P(gialla)
Siccome è certo che il colore della pallina estratta sarà uno dei quattro presenti, la somma della relative quattro probabilità deve essere uguale a 1; ovvero:
P(bianca)+P(gialla)+P(rossa)+P(azzurra) = 1
Da cui, ponendo per comodità:X = P(gialla), abbiamo:
3X+X+2X+2X = 1
8X = 1
X = 1/8
Da qui, ricaviamo:
P(gialla) = X = 1/8
P(bianca) = 3X = 3/8
P(rossa) = 2X = 2/8 = 1/4
P(azzurra) = 2X = 2/8 = 1/4
A questo punto, la probabilità che la pallina estratta sia rossa o gialla, può essere così determinata:
P(rossa o gialla) = P(rossa)+P(gialla) = 1/8+1/4= (1+2)/8 = 3/8 = 0,375
Problemi sulla probabilità composta
1. I tre eventi in questione sono indipendenti tra loro; infatti, l’esito del lancio di un dado non può influire in alcun modo sull’esito del lancio degli altri due dadi
Siccome la probabilità di ottenere un 6 su uno qualsiasi dei tre dadi è uguale a 1/6, la probabilitàdi ottenere un triplo 6 è uguale a:
(1/6)(1/6)(1/6) = 1/63 = 1/216 = 0,0046
2. I sei eventi in questione sono indipendenti tra loro; infatti, l’esito del lancio di una moneta non può influire in alcun modo sull’esito del lancio delle altre monete.
Siccome la probabilità di ottenere una testa su una qualsiasi dedelle sei monete è uguale a 1/2, la probabilitàdi ottenere sei teste è uguale a:
(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)(1/2) = 1/26 = 1/64 = 0,0046
3. I due eventi in questione sono indipendenti; infatti, l’estrazione di una pallina da uno dei due sacchetti non influenza in alcun modo l’estrazione di una pallina dall’altro.
Siccome le palline di valore pari sono sette (2–4–6–8–10–12–14), la probabilità che la prima pallina sia di valore pari è uguale a: 7/15;
siccome le palline di valore dispari sono otto (1–3–5–7–9–11–13–15), la probabilità che la seconda pallina sia di valore dispari è uguale a: 8/15.
Di conseguenza, la probabilità che la prima pallina estratta sia pari e che la seconda sia dispari è uguale a:
(7/15)(8/15) = 56/225 = 0,2489
4. I tre eventi in questione sono indipendenti; infatti, l’estrazione di una pallina da uno dei due sacchetti non influenza in alcun modo l’estrazione di una pallina dall’altro.
Siccome la probabilità di estrarre una determinata cifra da un sacchetto è uguale a 1/10, la probabilità di ottenere, nell’ordine, i valori assegnati: 0 – 1 – 2 è uguale a:
(1/10)(1/10)(1/10) = 1/103 = 1/1000 = 0,001
5. I due eventi in questione sono indipendenti; infatti, l’estrazione di un numero al gioco della roulette non influenza in alcun modo l’estrazione successiva.
I numeri pari neri sono nove; quindi, la probabilità che venga estratto uno di questi è uguale a 9/37;
anche i numeri dispari rossi sono nove; quindi, anche la probabilità che venga estratto uno di questi è uguale a 9/37.
Di conseguenza, la probabilità che venga estratto prima un numero pari nero e, poi, uno dispari rosso, è uguale a:
(9/37)(9/37) = 81/1396 = 0,0580
6. Dei 27 cubetti ottenibili tagliando il cubo grande: 8 hanno tre facce verdi, 12 ne hanno due e 6 ne hanno una sola (un unico cubetto, quello interno, non presenta facce verdi).
Di conseguenza:
– la probabilità di estrarre un cubetto con tre facce verdi è uguale a: 8/27; se ciò accade, la probabilità di estrarre una faccia verde è data da: (8/27)(1/2) = 4/27;
– la probabilità di estrarre un cubetto con due facce verdi è uguale a:12/27; se ciò accade, la probabilità di estrarre una faccia verde è data da: (12/27)(1/3)= 4/27;
– la probabilità di estrarre un cubetto con una sola faccia verde è 6/27; se ciò accade, la probabilità di estrarre una faccia verde è data da: (6/27)(1/6)=1/27;
In definitiva, la probabilità totale, relativa all’estrazione di una faccia verde, è data da: 4/27+4/27+1/27 = 9/27 = 1/3.
Problemi sulla probabilità opposta
1. La probabilità di estrarre due palline dello stesso colore è uguale all’opposto della probabilità di estrarre due palline di diverso colore; di conseguenza, è uguale a:
1–3/5 = (5–3)/5 = 2/5 = 0,4
2. La probabilità di non ottenere 3 è uguale all’opposto della probabilità di ottenere 3; di conseguenza, è uguale a:
1–1/6 = (6–1)/6 = 5/6 = 0,8333
3. La probabilità che non esca un doppio 5 è uguale all’opposto della probabilità che esca un doppio 5. Siccome la probabilità di ottenere un 5, lanciando un dado, è uguale a 1/6, la probabilitàdi ottenere un doppio 5, lanciando due dadi, è uguale a:
(1/6)(1/6) = 1/62 = 1/36
di conseguenza, la probabilità di non ottenere un doppio 5 è uguale a:
1–1/36 = (36–1)/36 = 35/36 = 0,9722.
4. La probabilità di estrarre una pallina bianca o nera equivale a quella di non estrarla rossa..
Siccome la probabilità di estrarre una pallina rossa è uguale a: 30/50 = 3/5, la probabilità di estrarre una pallina bianca o nera è uguale a:
1– 3/5 = (5–3)/5 = 2/5 = 0,4.
5. La probabilità di trovare il semaforo rosso o giallo è uguale a quella di non trovarlo verde.
Siccome la somma dei tre diversi tempi di illuminazione, espressa in secondi, è uguale a: 45+9+36 = 90; la probabilità di trovare il semaforo verde è uguale a: 36/90 = 2/5.
Di conseguenza, la probabilità di trovare il semaforo rosso o giallo (ovvero di non trovarlo verde) è uguale a:
1– 2/5 = (5–2)/5 = 3/5.
6. La probabilità che, in un gruppo di quattro persone, almeno due di queste festeggino il compleanno nello stesso mese è uguale all’opposto della probabilità che nessuna delle quattro persone festeggi il compleanno nello stesso mese di un’altra.
La probabilità che due persone non festeggino il compleanno nello stesso mese, è uguale a:11/12; infatti, tolto il mese in cui è nata la prima persona, ne rimangono altri undici in cui può essere nata la seconda.
La probabilità che, in un gruppo di tre persone, nessuna di queste festeggi il compleanno nello stesso mese di un’altra, è uguale a: (11/12)(10/12); infatti, tolti i due mesi in cui possono essere nate le prime due persone, ne rimangono altri dieci in cui può essere nata la terza.
La probabilità che, in un gruppo di tre persone, nessuna di queste festeggi il compleanno nello stesso mese di un’altra, è uguale a: (11/12)(10/12)(9/12);
infatti, tolti i tre mesi in cui possono essere nate le prime tre persone, ne rimangono altri nove in cui può essere nata la quarta.
Di conseguenza, la probabilità che almeno due persone, in un gruppo di quattro, festeggino il compleanno nello stesso mese è uguale a:
1–(11/12)(10/12)(9/12) = 990/1728 = 495/864 = 55/96 = 0,5729
Nota – Istintivamente si è portati a pensare che il valore della probabilità in questione debba essere sensibilmente più basso di quello ottenuto. Un risultato ancora più paradossale si ottiene se , mediante un procedimento analogo (ma più complesso), si calcola la probabilità che, in un gruppo di N persone, due di queste festeggino il compleanno, non solo nello stesso mese, ma anche nello stesso giorno. Ad esempio, si stenta a credere che, per N =25, un valore del genere sia uguale al 56% (e non a circa il 7%, come si sarebbe portati a supporre). E ancora più sorprendente appare il fatto che, aumentando di poche decine di unità il numero delle persone, tale probabilità si avvicina rapidamente ad 1 (la certezza assoluta…); ad esempio, per N = 50, arriva a circa il 97%.